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Modélisation financière

Les choix de portefeuille d’actions ou d’obligations, l’évaluation des instruments financiers, quels qu’ils soient, le calcul de la VaR, la gestion actif/passif d’une banque utilisent des concepts et des outils mathématiques qui leur sont inextricablement liés.
La notion de modèle mathématique nous vient directement de la physique avec deux volets : l’objet et le modèle.

L’objet c’est un ensemble de phénomènes que l’on se propose d’étudier, isolé plus ou moins arbitrairement dans une relation beaucoup plus vaste et complexe. Par exemple, la formule d’évaluation d’options sur actions de Black Scholes, ne prend en compte qu’un petit nombre de facteurs et en néglige beaucoup d’autres : la qualité de l’émetteur, les coûts de transactions, les fluctuations des taux, la liquidité du titre, les volumes de transactions, les anticipations des opérations, la tendance du marché.

Le deuxième volet de la théorie est le modèle proprement dit. Il s’agit d’une collection de variables mathématiques, censées représenter l’objet, et liées par certaines relations constitutives. Les relations sont des équations (parfois des inéquations) de type très divers, et font intervenir des paramètres, c’est-à-dire des valeurs numériques qui sont à la disposition du modélisateur et de l’utilisateur. Ces équations sont des processus qui font intervenir le passage du temps et le risque, dont on a déjà souligné qu’ils étaient les deux mamelles de la finance en situation d’incertitude : processus de Markov, de Wiener, d’Ito, brownien géométrique, etc. Les choix de portefeuille et les modèles d’équilibre en temps continu font appel au contrôle optimal stochastique.
À la base de la modélisation financière, on ne trouve pas ces êtres mathématiques que sont les particules élémentaires comme dans les sciences physiques, mais des processus de décision dont on n’est pas sûr qu’ils soient parfaitement modélisables, ni même rationnels, et au faîte, on trouve, non pas des lois éternelles, mais des théories qui portent en elles- mêmes les germes de leur propre destruction.
Malgré tout, les produits de l’école française de mathématiques, très recherchés dans les salles de marché et les départements de recherche des institutions financières du monde entier, ont encore de beaux jours devant eux !

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